Факториал

Факториа́л — это функция, определённая на множестве неотрицательных целых чисел.

Название происходит от лат. factorialis — действующий, производящий, умножающий.

Факториал натурального числа “n” обозначается n!, произносится эн факториа́л.

Факториал натурального числа n определяется как произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно:

Например,

5! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120

Натурáльные чи́сла (от лат. naturalis «естественный») — числа, возникающие естественным образом при счёте (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и так далее). Последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания, называется натуральным рядом.

Це́лые чи́сла — расширение множества натуральных чисел, получаемое добавлением к нему нуля и отрицательных чисел. Необходимость рассмотрения целых чисел продиктована невозможностью в общем случае вычесть из одного натурального числа другое — можно вычитать только меньшее число из большего. Введение нуля и отрицательных чисел делает вычитание такой же полноценной операцией, как сложение.

Для n = 0 принимается в качестве соглашения, что

0! = 1

Где используется факториал?

Факториал активно используется в различных разделах математики: комбинаторике, математическом анализе, теории чисел, функциональном анализе и др.

Факториал является чрезвычайно быстро растущей функцией. Он растёт быстрее, чем любая показательная функция или любая степенная функция, а также быстрее, чем любая сумма произведений этих функций. Однако степенно-показательная функция n^(n) растёт быстрее факториала, так же как и большинство двойных степенных, например e^(e^(n)):

Пример значений факториала для n от 0 до 20

Свойства факториала

Рекуррентная формула

Так как факториал n - это произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно, то можно вывести рекуррентную формулу.

Для примера возьмём 4!:

4! = 1 * 2 * 3 * 4

Можно сгруппировать и представить в виде:

4! = (1 * 2) * 3 * 4 = 2! * 3 * 4 = (2! * 3) * 4 = 3! * 4 

Или так:

4! = (1 * 2 * 3) * 4 = 3! * 4 

Поэтому факториал n! может быть задан следующей рекуррентной формулой:

Как следствие:

n! = (n + m)! / (n + m) / (n + (m - 1)) / ... / (n + 1)

2! = 4! / 4 / 3 

Комбинаторная интерпретация

В комбинаторике факториал натурального числа n интерпретируется как количество перестановок (упорядочиваний) множества из n элементов.

Один элемент можно упорядочить одним способом. Два элемента - множество (A,B) - двумя перестановками:

Например, для множества (A,B,C,D) из 4-х элементов существует 4! = 24 перестановки:

Комбинаторная интерпретация факториала служит обоснованием тождества 0! = 1, т.к. пустое множество упорядочено единственным способом.

Остальные свойства и способы применения факториала в данной статье не рассматриваются.

Историческая справка

Термин факториал ввел в 1800 году французский математик Аргобаст Луи Франсуа Антуан.

Обозначение n! придумал чуть позже немецкий математик Кристиан Крамп в 1808 году, хотя факториальные выражения появились ещё в ранних исследованиях по комбинаторике.

Значительный вклад в развитие комбинаторики и изучение факториала внесли такие учёные как Леонард Эйлер, Абрахам де Муавр, Джеймс Стирлинг.

Важным этапом стало открытие формулы Стирлинга, которую Джеймс Стирлинг опубликовал в своём трактате «Дифференциальный метод» (лат. Methodus differentialis, 1730 год).

Интересное

Интересные факториалы:

145 = 1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120
40 585 = 4! + 0! + 5! +8! + 5! = 24 + 1 + 120 + 40320 + 120

Еще полезные ссылки